Числа с плавающей точкой.

Числа с плавающей точкой

Числа с плавающей точкой — это способ представления в вычислительных системах очень больших, очень малых и дробных чисел.

Такое число представляется примерно в виде:

X=M⋅BEX = M \cdot B^E

где:

• MM — мантисса;

• BB — основание системы счисления;

• EE — порядок, или экспонента.

В двоичных вычислительных системах обычно:

B=2B = 2

Поэтому число имеет вид:

X=M⋅2EX = M \cdot 2^E

Пример

Десятичное число:

123,45123{,}45

можно представить в научной форме:

1,2345⋅1021{,}2345 \cdot 10^2

Здесь:

• 1,2345 — мантисса;

• 2 — порядок.

В двоичной системе используется такой же принцип, только основание равно 2.

Формат числа с плавающей точкой

Обычно машинное представление содержит три части:

1. Знак

Определяет знак числа:

• 0 — положительное;

• 1 — отрицательное.

2. Порядок

Определяет положение двоичной точки и позволяет представлять очень большие или очень маленькие значения.

3. Мантисса

Содержит значащие цифры числа и определяет точность представления.

Стандарт IEEE 754

Наиболее распространённым способом представления чисел с плавающей точкой является стандарт IEEE 754.

Одинарная точность — 32 бита

Число float обычно занимает 32 бита:

Схематично:

Двойная точность — 64 бита

Число double обычно занимает 64 бита:

Чем больше разрядов мантиссы, тем выше точность.

Нормализованное представление

Обычно число приводится к нормализованной форме.

Например:

101,1012=1,011012⋅22101{,}101_2 = 1{,}01101_2 \cdot 2^2

Здесь:

• мантисса — 1,01101;

• порядок — 2.

Преимущества

Числа с плавающей точкой позволяют:

• представлять очень большие числа;

• представлять очень маленькие числа;

• работать с дробными величинами;

• выполнять инженерные и научные вычисления.

Например:

Недостатки

Главный недостаток — ограниченная точность.

Не все десятичные дроби могут быть точно представлены в двоичной системе.

Например, число:

в двоичном формате имеет бесконечное представление, поэтому в памяти хранится его приближённое значение.

Из-за этого при вычислениях могут появляться небольшие погрешности округления.

Например, в некоторых программах результат операции:

может внутренне быть близким к:

Особые значения

Формат с плавающей точкой может также представлять специальные значения:

• +0;

• -0;

• +∞ — положительная бесконечность;

• -∞ — отрицательная бесконечность;

• NaN — неопределённый числовой результат.

NaN может возникнуть, например, при некорректной математической операции.

Кратко для ответа по билету

Числа с плавающей точкой используются для представления дробных, очень больших и очень малых чисел. Число состоит из знака, порядка и мантиссы и представляется в виде:

X=M⋅2EX=M\cdot2^E

Наиболее распространён стандарт IEEE 754. В 32-разрядном формате float используется 1 бит знака, 8 бит порядка и 23 бита мантиссы. Главное преимущество такого представления — большой диапазон значений, а недостаток — ограниченная точность и возможные ошибки округления.